If p and q are positive integers and the difference between pq and 4p is three times the sum of p and q, then how many pairs of p and q are possible?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রশ্ন অনুযায়ী, p এবং q দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং শর্তটি হলো p ও q এর গুণফল (pq) এবং p এর অন্তরফল (pq - p) হলো p ও q এর যোগফলের (p+q) তিন গুণ। এটিকে গাণিতিক সমীকরণে প্রকাশ করলে পাই:

সমীকরণটিকে সরল করি:

p এর পদগুলো একপাশে নিয়ে আসি:

বাম পাশ থেকে p কমন নিয়ে পাই:

এখন p এর মান q এর মাধ্যমে প্রকাশ করি:

যেহেতু p একটি পূর্ণসংখ্যা, তাই \((q-4)\) দ্বারা \(3q\) বিভাজ্য হতে হবে। ভগ্নাংশটিকে সরল করার জন্য, আমরা নিউমেরেটরে \((q-4)\) পদটি তৈরি করব:

এখন, p একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হতে হলে, \((q-4)\) অবশ্যই 12 এর একটি উৎপাদক হতে হবে, এবং \((3 + \frac{12}{q-4})\) এর মান ধনাত্মক হতে হবে।

12 এর উৎপাদকগুলো হলো: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12\)।

ধরি, \(k = q-4\)। তাহলে, \(q = k+4\)।

যেহেতু q একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, \(q > 0\), তাই \(k+4 > 0\), অর্থাৎ \(k > -4\)।

এছাড়াও, p একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, \(p > 0\), তাই \(3 + \frac{12}{k} > 0\)।

k এর সম্ভাব্য মানসমূহ যা \(k > -4\) এবং 12 এর উৎপাদক, সেগুলো হলো: \(-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 6, 12\)।

এবার প্রতিটি k এর মানের জন্য p এবং q এর মান নির্ণয় করি:

• যদি \(k = 1\) হয়:
  \(q-4 = 1 \implies q = 5\)
  \(p = 3 + \frac{12}{1} = 3 + 12 = 15\)
  জোড়: \((15, 5)\) (উভয়ই ধনাত্মক)
• যদি \(k = 2\) হয়:
  \(q-4 = 2 \implies q = 6\)
  \(p = 3 + \frac{12}{2} = 3 + 6 = 9\)
  জোড়: \((9, 6)\) (উভয়ই ধনাত্মক)
• যদি \(k = 3\) হয়:
  \(q-4 = 3 \implies q = 7\)
  \(p = 3 + \frac{12}{3} = 3 + 4 = 7\)
  জোড়: \((7, 7)\) (উভয়ই ধনাত্মক)
• যদি \(k = 4\) হয়:
  \(q-4 = 4 \implies q = 8\)
  \(p = 3 + \frac{12}{4} = 3 + 3 = 6\)
  জোড়: \((6, 8)\) (উভয়ই ধনাত্মক)
• যদি \(k = 6\) হয়:
  \(q-4 = 6 \implies q = 10\)
  \(p = 3 + \frac{12}{6} = 3 + 2 = 5\)
  জোড়: \((5, 10)\) (উভয়ই ধনাত্মক)
• যদি \(k = 12\) হয়:
  \(q-4 = 12 \implies q = 16\)
  \(p = 3 + \frac{12}{12} = 3 + 1 = 4\)
  জোড়: \((4, 16)\) (উভয়ই ধনাত্মক)
• যদি \(k = -1\) হয়:
  \(q-4 = -1 \implies q = 3\)
  \(p = 3 + \frac{12}{-1} = 3 - 12 = -9\) (ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই এই জোড়টি গ্রহণযোগ্য নয়)
• যদি \(k = -2\) হয়:
  \(q-4 = -2 \implies q = 2\)
  \(p = 3 + \frac{12}{-2} = 3 - 6 = -3\) (ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই এই জোড়টি গ্রহণযোগ্য নয়)
• যদি \(k = -3\) হয়:
  \(q-4 = -3 \implies q = 1\)
  \(p = 3 + \frac{12}{-3} = 3 - 4 = -1\) (ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই এই জোড়টি গ্রহণযোগ্য নয়)

সুতরাং, p এবং q এর মোট 6টি জোড় সম্ভব যা প্রদত্ত শর্ত পূরণ করে।